समीकरणों की प्रणाली $2x + y + z = \beta$,$10x - y + \alpha z = 10$ और $4x + 3y - z = 6$ के अद्वितीय हल का अस्तित्व किस पर निर्भर करता है?

यदि समीकरणों की प्रणाली $x + ay = 0,$ $az + y = 0$ और $ax + z = 0$ के अनंत हल हैं,तो $a$ का मान क्या है?

युगपत रैखिक समीकरणों $\beta x + \alpha y - z = -1$, $3x - \beta y + \alpha z = 0$, और $\alpha x + \beta y + z = 1$ पर विचार करें। क्रेमर के नियम में प्रयुक्त सामान्य संकेतन में, यदि $\frac{\Delta_1}{\Delta} = -1$, $\frac{\Delta_2}{\Delta} = 1$, और $\frac{\Delta_3}{\Delta} = 2$ दिया गया है, तो $(\alpha, \beta) = $

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें
$\begin{cases} x+y+z = 0 \\ \alpha x+\beta y+\gamma z = 0 \\ \alpha^{2} x+\beta^{2} y+\gamma^{2} z = 0 \end{cases}$
तो समीकरणों की इस प्रणाली के पास है

यदि समीकरणों के निकाय $x+y-z=1$, $2x+4y-z=0$ और $3x+4y+5z=18$ के संगत ऑगमेंटेड मैट्रिक्स को $\left[\begin{array}{cccc}1 & a & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & b \\ 0 & 0 & c & 32\end{array}\right]$ में रूपांतरित किया जाता है, तो $\sqrt{a+b+c}=$

मान लीजिए $\alpha, \beta (\alpha \neq \beta)$ $m$ के वे मान हैं जिनके लिए समीकरणों $x+y+z=1$,$x+2y+4z=m$,और $x+4y+10z=m^2$ के अनंत हल हैं। तो $\sum_{n=1}^{10}(n^\alpha+n^\beta)$ का मान ज्ञात कीजिए।